1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике, если один из острых углов равен 45°, то второй острый угол также равен 45° (так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°). Следовательно, треугольник является равнобедренным.

Пусть катеты равны \( a \). Тогда по теореме Пифагора:

\[ a^2 + a^2 = 70^2 \]

\[ 2a^2 = 4900 \]

\[ a^2 = 2450 \]

\[ a = \sqrt{2450} = \sqrt{49 \cdot 50} = 7 \sqrt{50} = 7 \sqrt{25 \cdot 2} = 7 \cdot 5 \sqrt{2} = 35 \sqrt{2} \]

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

\[ S = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} \cdot 2450 = 1225 \]

Ответ: 1225