1 В треугольнике АВС известно, что АС - BC, AB = 4, cos ВАС = \(\frac\){\(\sqrt{51}\)}{10}. Найдите высоту АН.

Дано:

• Треугольник АВС
• АС = BC
• AB = 4
• \(\cos \angle BAC = \frac{\sqrt{51}}{10}\)

Найти: AH

Решение:

1. Так как АС = BC, то треугольник АВС — равнобедренный.
2. Найдем \(\cos \angle ABC\) из косинуса угла А. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит \(\angle ABC = \angle BAC\).
3. Найдем \(\sin \angle BAC\) по основному тригонометрическому тождеству:

\( \sin^2 \angle BAC + \cos^2 \angle BAC = 1 \)

\( \sin^2 \angle BAC = 1 - (\frac{\sqrt{51}}{10})^2 = 1 - \frac{51}{100} = \frac{49}{100} \)

\( \sin \angle BAC = \sqrt{\frac{49}{100}} = \frac{7}{10}\) (так как угол острый).

4. В прямоугольном треугольнике АНВ:

\( \sin \angle ABH = \frac{AH}{AB} \)

\( AH = AB \cdot \sin \angle ABH \)

Так как \(\angle ABC = \angle BAC\), то \(\sin \angle ABC = \sin \angle BAC = \frac{7}{10}\).

\( AH = 4 \cdot \frac{7}{10} = \frac{28}{10} = 2.8 \)

Ответ: 2.8