6 Найдите корень уравнения 3^2x+1 = 0.09 ⋅ 10^2x+1

Дано:

• Уравнение: \(3^{2x+1} = 0.09 \cdot 10^{2x+1}\)

Найти: x (корень уравнения)

Решение:

1. Перепишем уравнение, разделив обе части на \(10^{2x+1}\) (так как \(10^{2x+1}\) не равно нулю):

\( \frac{3^{2x+1}}{10^{2x+1}} = 0.09 \)

2. Используем свойство степеней \(\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n\):

\( (\frac{3}{10})^{2x+1} = 0.09 \)

3. Представим 0.09 в виде дроби:

\( 0.09 = \frac{9}{100} = (\frac{3}{10})^2 \)

4. Теперь уравнение выглядит так:

\( (\frac{3}{10})^{2x+1} = (\frac{3}{10})^2 \)

5. Так как основания степеней равны, приравняем показатели степеней:

\( 2x+1 = 2 \)

6. Решим полученное линейное уравнение:

\( 2x = 2 - 1 \)

\( 2x = 1 \)

\( x = \frac{1}{2} = 0.5 \)

Ответ: 0.5