5 Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 35% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 75% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 55% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Дано:

• Пусть \(H_1\) — событие, что яйцо из первого хозяйства.
• Пусть \(H_2\) — событие, что яйцо из второго хозяйства.
• Пусть \(V\) — событие, что яйцо высшей категории.
• \(P(V|H_1) = 0.35\) (вероятность яйца высшей категории из первого хозяйства).
• \(P(V|H_2) = 0.75\) (вероятность яйца высшей категории из второго хозяйства).
• \(P(V) = 0.55\) (общая вероятность яйца высшей категории).

Найти: \(P(H_1)\) (вероятность того, что яйцо из первого хозяйства).

Решение:

Используем формулу полной вероятности и формулу Байеса.

По формуле полной вероятности:

\( P(V) = P(V|H_1)P(H_1) + P(V|H_2)P(H_2) \)

Так как есть только два хозяйства, то \( P(H_1) + P(H_2) = 1 \). Отсюда \( P(H_2) = 1 - P(H_1) \).

Подставим в формулу полной вероятности:

\( 0.55 = 0.35 \cdot P(H_1) + 0.75 \cdot (1 - P(H_1)) \)

\( 0.55 = 0.35 P(H_1) + 0.75 - 0.75 P(H_1) \)

\( 0.55 - 0.75 = 0.35 P(H_1) - 0.75 P(H_1) \)

\( -0.20 = -0.40 P(H_1) \)

\( P(H_1) = \frac{-0.20}{-0.40} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} = 0.5 \)

Ответ: 0.5