7 Найдите значение выражения \(\sqrt{8} \cos^2 \frac{\pi}{8} - \sqrt{2}\)

Дано:

• Выражение: \(\sqrt{8} \cos^2 \frac{\pi}{8} - \sqrt{2}\)

Найти: Значение выражения.

Решение:

1. Упростим \(\sqrt{8}\):

\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \)

2. Теперь выражение выглядит так:

\( 2\sqrt{2} \cos^2 \frac{\pi}{8} - \sqrt{2} \)

3. Вынесем \(\sqrt{2}\) за скобки:

\( \sqrt{2} (2 \cos^2 \frac{\pi}{8} - 1) \)

4. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \(\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1\).
5. В нашем случае \(\alpha = \frac{\pi}{8}\), поэтому \(2\alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4}\).
6. Таким образом, выражение в скобках равно \(\cos(\frac{\pi}{4})\).
7. \(\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
8. Подставим это значение обратно в выражение:

\( \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)

9. Вычислим:

\( \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Ответ: 1