1 вариант. 2. На стороне ВС ромба ABCD лежит точка K такая, что \(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{CO}\), где O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{AO}\), \(\overrightarrow{AK}\), \(\overrightarrow{KD}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AD}\).

В ромбе \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\), поэтому диагонали пересекаются пополам:

\[\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec a+\vec b).\]

Так как \(\overrightarrow{CO}=-\frac12(\vec a+\vec b)\), то

\[\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}=\vec a+\overrightarrow{CO}=\vec a-\frac12(\vec a+\vec b)=\frac12(\vec a-\vec b).\]

Далее:

\[\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AK}=\vec b-\frac12(\vec a-\vec b)=\frac12(-\vec a+3\vec b).\]

Ответ: \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec a+\vec b)\), \(\overrightarrow{AK}=\frac12(\vec a-\vec b)\), \(\overrightarrow{KD}=\frac12(-\vec a+3\vec b)\).