2 вариант. 2. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P такая, что \(\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PD}\), O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{BO}\), \(\overrightarrow{BP}\), \(\overrightarrow{PA}\) через векторы \(\vec x=\overrightarrow{BA}\) и \(\vec y=\overrightarrow{BC}\).

Примем точку B за начало. Тогда \(\overrightarrow{BA}=\vec x\), \(\overrightarrow{BC}=\vec y\), а \(\overrightarrow{BD}=\vec x+\vec y\).

Точка O — середина диагонали BD:

\[\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y).\]

Из условия \(\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PD}\) следует, что P — середина CD. Поэтому

\[\overrightarrow{BP}=\vec y+\frac12\vec x.\]

Тогда

\[\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BP}=\vec x-\left(\frac12\vec x+\vec y\right)=\frac12\vec x-\vec y.\]

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)\), \(\overrightarrow{BP}=\frac12\vec x+\vec y\), \(\overrightarrow{PA}=\frac12\vec x-\vec y\).