1 вариант. 4. В треугольнике ABC O — точка пересечения медиан. Выразите вектор \(\overrightarrow{AO}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AC}\).

Пусть M — середина стороны BC. Тогда

\[\overrightarrow{AM}=\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac12(\vec a+\vec b).\]

Центр тяжести делит медиану в отношении \(AO:OM=2:1\), поэтому

\[\overrightarrow{AO}=\frac23\overrightarrow{AM}=\frac23\cdot\frac12(\vec a+\vec b)=\frac13(\vec a+\vec b).\]

Ответ: \(\overrightarrow{AO}=\frac13(\vec a+\vec b)\).