1 вариант. 3 балла) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, и радиус окружности, описанной около треугольника, стороны которого равны 16 см, 17 см и 17 см.

Решение:

1. Радиус описанной окружности (R):

• Треугольник сtоронами 16, 17, 17 см является равнобедренным.
• Найдем высоту, проведенную к основанию. Пусть основание b = 16 см, боковые стороны a = 17 см.
• Высота h = sqrt(a^2 - (b/2)^2) = sqrt(17^2 - (16/2)^2) = sqrt(289 - 8^2) = sqrt(289 - 64) = sqrt(225) = 15 см.
• Площадь треугольника S = (1/2) * основание * высота = (1/2) * 16 * 15 = 120 см^2.
• Формула радиуса описанной окружности: R = (abc) / (4S), где a, b, c – стороны треугольника.
• R = (17 * 17 * 16) / (4 * 120) = 4624 / 480 = 9.633... см.

2. Радиус вписанной окружности (r):

• Формула радиуса вписанной окружности: r = S / p, где S – площадь, p – полупериметр.
• Полупериметр p = (16 + 17 + 17) / 2 = 50 / 2 = 25 см.
• r = 120 / 25 = 4.8 см.

Ответ: Радиус вписанной окружности r = 4.8 см, радиус описанной окружности R ≈ 9.63 см