1 вариант. 4. В треугольнике ABC O — точка пересечения медиан. Выразите вектор AO через векторы a = AB и b = AC.

Пусть D — середина BC. Тогда \(\vec{AD}=\frac12(\vec{AB}+\vec{AC})=\frac12(\vec a+\vec b)\). Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому \(\vec{AO}=\frac23\vec{AD}\).

Следовательно, \(\vec{AO}=\frac23\cdot\frac12(\vec a+\vec b)=\frac13(\vec a+\vec b)\).

Ответ: \(\vec{AO}=\frac13(\vec a+\vec b)\).