1. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины С, делит основание AD на отрезки длиной 14 и 19. Найдите длину основания BC.

Решение:

Пусть высота проведена из вершины C к основанию AD и делит его на отрезки AK = 14 и KD = 19. Так как трапеция равнобедренная, то AD = AK + KD = 14 + 19 = 33. Отрезок BK = 14.

Проведём высоту из вершины B к основанию AD. Она также отсечёт отрезок длиной 14 от основания AD (например, если бы высота была проведена из C к AD, и точка касания была бы ближе к D). В равнобедренной трапеции основания пропорциональны отрезкам, на которые делит высота боковую сторону. Если предположить, что точка пересечения высоты из C с AD находится ближе к D, то AD = 14 + 19 = 33. Основание BC будет равно KD - AK = 19 - 14 = 5. Если же точка пересечения находится ближе к A, то AD = 19 + 14 = 33. Основание BC будет равно AK - KD, что невозможно, если AK=14 и KD=19. Следовательно, более короткое основание BC равно разности отрезков.

BC = 19 - 14 = 5.

Ответ: 5.