3. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен \( 5\sqrt{3} \). Найдите длину стороны этого треугольника.

Решение:

Формула радиуса вписанной окружности \( r \) в равносторонний треугольник со стороной \( a \):

\[ r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \]

Нам дан радиус \( r = 5\sqrt{3} \).

Подставим значение радиуса в формулу:

\[ 5\sqrt{3} = \frac{a}{2\sqrt{3}} \]

Теперь выразим сторону \( a \):

\[ a = 5\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 10 \cdot (\sqrt{3})^2 = 10 \cdot 3 = 30 \]

Ответ: 30.