1. За круглый стол на 11 стульев в случайном порядке рассаживаются 9 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик.

Решение:

Всего способов рассадить 11 человек на 11 стульев: \( 11! \).

Рассмотрим девочек как одну группу, а мальчиков как других. Если между девочками сидит один мальчик, то это значит, что две девочки и мальчик образуют блок. Это можно сделать двумя способами: ДМД или МДД.

Количество перестановок девочек: \( 2! \). Количество перестановок мальчиков: \( 9! \).

Рассмотрим блок из двух девочек и одного мальчика. Такой блок можно образовать двумя способами: ДМД или МДД.

Количество способов выбрать 2 места для девочек из 11: \( C_{11}^2 = \frac{11 \times 10}{2} = 55 \).

Количество способов выбрать 1 место для мальчика между девочками: \( 9 \).

Количество способов расположить 2 девочек на выбранных местах: \( 2! \).

Количество способов расположить 9 мальчиков на оставшихся местах: \( 9! \).

Пусть две девочки сидят рядом. Тогда девочек и одного мальчика можно рассматривать как единый блок. Этот блок можно создать так: ДМД или МДД.

Общее число мест - 11.

Выделим места для девочек. Всего мест - 11. Выберем 2 места для девочек: \( C_{11}^2 = 55 \) способов.

Представим, что девочки хотят сидеть рядом, а между ними сидит один мальчик. Тогда у нас есть блок (ДМД) или (МДД).

Сначала расставим 2 девочек. Число способов посадить 2 девочек на 11 стульев: \( P_{11}^2 = 11 \times 10 = 110 \).

Чтобы между девочками сидел один мальчик, нам нужно выбрать 1 место для мальчика из 9 оставшихся свободных мест, и это место должно быть между девочками. Это невозможно, если мы сначала сажаем девочек.

Рассмотрим сначала места для девочек. Всего 11 мест. Для того, чтобы между девочками сидел один мальчик, нужно, чтобы места для девочек были, например, 1 и 3, 2 и 4, ..., 9 и 11.

Количество таких пар мест: 9 пар. (1,3), (2,4), ..., (9,11).

Для каждой такой пары мест, девочек можно посадить 2 способами (Д1Д2 или Д2Д1).

Для каждой такой пары мест, мальчика можно посадить 1 способом.

Количество способов рассадить девочек так, чтобы между ними был один мальчик: \( 9 \times 2! = 18 \) способов.

Количество способов рассадить 9 мальчиков на оставшиеся 9 мест: \( 9! \).

Таким образом, количество благоприятных исходов: \( 18 \times 9! \).

Общее число исходов: \( 11! \).

Вероятность: \( P = \frac{18 \times 9!}{11!} = \frac{18 \times 9!}{11 \times 10 \times 9!} = \frac{18}{110} = \frac{9}{55} \).

Ответ: \( \frac{9}{55} \).