8. В коробке 9 синих, 6 красных и 10 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?

Решение:

Общее количество фломастеров в коробке: \( 9 + 6 + 10 = 25 \).

Мы выбираем два фломастера случайным образом.

Общее число способов выбрать 2 фломастера из 25 равно числу сочетаний \( C_{25}^2 \):

\( C_{25}^2 = \frac{25!}{2!(25-2)!} = \frac{25!}{2!23!} = \frac{25 \times 24}{2 \times 1} = 25 \times 12 = 300 \).

Нас интересует событие, когда выбраны один синий и один красный фломастер.

Число способов выбрать 1 синий фломастер из 9: \( C_9^1 = 9 \).

Число способов выбрать 1 красный фломастер из 6: \( C_6^1 = 6 \).

Число благоприятных исходов (выбран один синий и один красный фломастер) равно произведению числа способов выбрать синий и числа способов выбрать красный:

\( N(\text{синий и красный}) = C_9^1 \times C_6^1 = 9 \times 6 = 54 \).

Вероятность того, что будут выбраны один синий и один красный фломастер, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

\( P(\text{синий и красный}) = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} = \frac{54}{300} \).

Упростим дробь:

\( \frac{54}{300} = \frac{27}{150} = \frac{9}{50} \).

В десятичной форме: \( \frac{9}{50} = 0.18 \).

Ответ: \( \frac{9}{50} \) или 0.18