10.10. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причём АВ = 3, ВС = 72. Найдите АК.

Решение:

По теореме о касательной и секущей: \( AK^2 = AB \cdot AC \).

Так как \( AC = AB + BC \), то \( AC = 3 + 72 = 75 \).

\[ AK^2 = 3 \cdot 75 \]

\[ AK^2 = 225 \]

\[ AK = \sqrt{225} \]

\[ AK = 15 \]

Ответ: 15