10. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причём АВ=4, АС=16. Найдите АК.

Решение:

По теореме о касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей. То есть, \( AK^2 = AB \cdot AC \).

Подставим данные из условия:

\[ AK^2 = 4 \cdot 16 \]

\[ AK^2 = 64 \]

Извлечём квадратный корень:

\[ AK = \sqrt{64} \]

\[ AK = 8 \]

Ответ: 8