10. (4 б) Найдите наибольший отрицательный корень уравнения: cos 2x − 3 cos x = 4 cos²(x/2).

Используем тождества \(\cos 2x=2\cos^2 x-1\) и \(4\cos^2\frac{x}{2}=2(1+\cos x)\). Обозначим \(c=\cos x\):

\(2c^2-1-3c=2+2c\),
\(2c^2-5c-3=0\),
\((2c+1)(c-3)=0\).

Корень \(c=3\) невозможен, поскольку \(|\cos x|\leq1\). Значит, \(\cos x=-\frac12\), откуда \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\) или \(x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n\), где \(n\in\mathbb Z\). Наибольший отрицательный корень — \(-\frac{2\pi}{3}\).

Ответ: \(-\frac{2\pi}{3}\).