10.45. С какой минимальной скоростью v должны лететь навстречу друг другу две одинаковые льдинки, чтобы при ударе полностью расплавиться? Температура каждой льдинки перед ударом t = -10 °C.

Чтобы льдинки полностью расплавились при ударе, вся кинетическая энергия их столкновения должна быть преобразована в теплоту, необходимую для плавления.

Дано:

• Температура льдинок \[ t = -10 \,^{\circ}\text{C} \]
• Количество теплоты для плавления 1 кг льда при 0 °С \[ Q_{1кг} = 366 \text{ кДж/кг} \] (из предыдущей задачи)

Найти:

• Минимальная скорость \[ v \]

Решение:

Сначала нужно рассчитать, сколько теплоты нужно для плавления одной льдинки. Для этого нам понадобится:

1. Теплота на нагревание льдинки от \[ -10 \,^{\circ}\text{C} \] до \( 0 \,^{\circ}\text{C} \).
2. Теплота на плавление льда при \( 0 \,^{\circ}\text{C} \).

Пусть масса каждой льдинки равна m.

1. Нагревание льдинки до 0 °С:

\[ Q_{нагр} = c_{лед} m (0 - t) \]

\[ Q_{нагр} = 2100 \text{ Дж/(кг} · °\text{C)} \times m \text{ кг} \times (0 - (-10)) \,^{\circ}\text{C} \]

\[ Q_{нагр} = 2100 \times m \times 10 = 21000 m \text{ Дж} \]

2. Плавление льдинки при 0 °С:

\[ Q_{плавл} = \lambda m \]

\[ Q_{плавл} = 366000 \text{ Дж/кг} \times m \text{ кг} = 366000 m \text{ Дж} \]

3. Общая теплота для плавления одной льдинки:

\[ Q_{общ.на \text{ одну}} = Q_{нагр} + Q_{плавл} = 21000 m + 366000 m = 387000 m \text{ Дж} \]

4. Полная теплота для плавления двух льдинок:

\[ Q_{общ.для \text{ двух}} = 2 \times Q_{общ.на \text{ одну}} = 2 \times 387000 m = 774000 m \text{ Дж} \]

5. Связь кинетической энергии и теплоты:

При столкновении двух льдинок, летящих навстречу друг другу со скоростью \( v \), их суммарная кинетическая энергия равна:

\[ E_{кин.общ} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2 = m v^2 \]

Эта энергия должна быть равна общей теплоте, необходимой для плавления обеих льдинок:

\[ E_{кин.общ} = Q_{общ.для \text{ двух}} \]

\[ m v^2 = 774000 m \]

Масса m сокращается, так как мы ищем скорость:

\[ v^2 = 774000 \text{ (м/с)}^2 \]

\[ v = \sqrt{774000} \text{ м/с} \]

\[ v \approx 879.8 \text{ м/с} \]

Переведем в км/с:

\[ v \approx 0.88 \text{ км/с} \]

Ответ: Минимальная скорость каждой льдинки должна быть приблизительно 879.8 м/с (или 0.88 км/с).