10. а) Решите уравнение log₂₀₁₆(sin x + √3 cos x + 2016) = 1. б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие промежутку (−4π/3; 2π/3].

а) Так как основание логарифма \(2016>0\) и \(2016\ne1\), равенство логарифма единице означает, что его аргумент равен \(2016\). Получаем \(\sin x+\sqrt3\cos x=0\).

Используем формулу \(\sin x+\sqrt3\cos x=2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\). Тогда \(2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=0\), откуда \(x+\dfrac{\pi}{3}=\pi k\). Следовательно, \(x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z\).

б) Условие \(-\dfrac{4\pi}{3}< -\dfrac{\pi}{3}+\pi k\le\dfrac{2\pi}{3}\) даёт \(-1

Ответ: а) \(x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z\); б) \(-\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{2\pi}{3}\).