7. а) Решите уравнение 3ˣ + 2·3⁻ˣ⁻² = 1. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [−5,5; −1].

а) Положим \(y=3^x\), где \(y>0\). Тогда \(3^{-x-2}=\dfrac{1}{9y}\), и уравнение принимает вид \(y+\dfrac{2}{9y}=1\).

Умножим на \(9y\): \(9y^2-9y+2=0\). Корни квадратного уравнения: \(y=\dfrac{1}{3}\) и \(y=\dfrac{2}{3}\). Следовательно, \(3^x=\dfrac13\) или \(3^x=\dfrac23\), то есть \(x=-1\) или \(x=\log_3\dfrac23\).

б) Корень \(\log_3\dfrac23\) больше \(-1\), поэтому в заданный промежуток \([-5{,}5;-1]\) не входит. Корень \(-1\) входит.

Ответ: а) \(x=-1\) или \(x=\log_3\dfrac23\); б) \(-1\).