3. а) Решите уравнение tg x + ctg x = 2. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [π; 3π].

а) Область допустимых значений: \(\sin x\ne0\) и \(\cos x\ne0\). Обозначим \(t= g x\), тогда \(t\ne0\), а \(\ctg x=1/t\).

\(t+\dfrac1t=2\), поэтому \(t^2-2t+1=0\), то есть \((t-1)^2=0\). Следовательно, \( g x=1\), откуда \(x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z\).

б) Для промежутка \([\pi;3\pi]\) подходят \(k=1,2\): при \(k=1\) получаем \(x=\dfrac{5\pi}{4}\), при \(k=2\) — \(x=\dfrac{9\pi}{4}\).

Ответ: а) \(x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z\); б) \(\dfrac{5\pi}{4},\ \dfrac{9\pi}{4}\).