5. а) Решите уравнение sin² x = 5 cos(5π/2 − x). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; 5π].

а) Используем периодичность косинуса: \(\cos\left(\dfrac{5\pi}{2}-x\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\). Тогда уравнение принимает вид \(\sin^2x=5\sin x\), или \(\sin x(\sin x-5)=0\).

Поскольку \(|\sin x|\le1\), равенство \(\sin x=5\) невозможно. Остаётся \(\sin x=0\), поэтому \(x=\pi k,\ k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \([0;5\pi]\) подходят \(k=0,1,2,3,4,5\).

Ответ: а) \(x=\pi k,\ k\in\mathbb Z\); б) \(0,\ \pi,\ 2\pi,\ 3\pi,\ 4\pi,\ 5\pi\).