9. а) Решите уравнение 2 sin² x = √3 cos(5π/2 + x). б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие промежутку (−π; π/2].

а) Используем тождество \(\cos\left(\dfrac{5\pi}{2}+x\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x\). Тогда \(2\sin^2x=-\sqrt3\sin x\), то есть \(\sin x(2\sin x+\sqrt3)=0\).

Следовательно, \(\sin x=0\) или \(\sin x=-\dfrac{\sqrt3}{2}\). Общие решения: \(x=\pi k\); \(x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k\); \(x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) В промежутке \((-\pi;\dfrac{\pi}{2}]\) подходят \(0,\ -\dfrac{\pi}{3},\ -\dfrac{2\pi}{3}\). Точка \(-\pi\) не включается в промежуток.

Ответ: а) \(x=\pi k\), \(x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k\) или \(x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(-\dfrac{2\pi}{3},\ -\dfrac{\pi}{3},\ 0\).