8. а) Решите уравнение 7^(sin 3x) · 3^(2 sin 3x) = 63^(cos 3x). б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие промежутку [−π/2; π/2].

а) Преобразуем левую часть: \(7^{\sin 3x}\cdot 3^{2\sin 3x}=7^{\sin 3x}\cdot 9^{\sin 3x}=63^{\sin 3x}\). Так как основание \(63>1\), равенство степеней равносильно равенству показателей: \(\sin 3x=\cos 3x\).

Отсюда \( g 3x=1\), поэтому \(3x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k\), и \(x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi k}{3}\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) Условию \(-\dfrac{\pi}{2}\le x\le\dfrac{\pi}{2}\) удовлетворяют значения при \(k=-1,0,1\): \(-\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{\pi}{12},\ \dfrac{5\pi}{12}\).

Ответ: а) \(x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi k}{3},\ k\in\mathbb Z\); б) \(-\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{\pi}{12},\ \dfrac{5\pi}{12}\).