6. а) Решите уравнение 1/sin² x − 1 − ctg x = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [−π/2; π/2].

а) Область допустимых значений: \(\sin x\ne0\). По тождеству \(\dfrac{1}{\sin^2x}-1=\ctg^2x\), уравнение равносильно \(\ctg^2x-\ctg x=0\).

Получаем \(\ctg x(\ctg x-1)=0\). Значит, \(\ctg x=0\) или \(\ctg x=1\), откуда \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\) или \(x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \([-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}]\) находятся корни \(-\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{\pi}{2}\). Концы отрезка допустимы, поскольку в них \(\sin x\ne0\).

Ответ: а) \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\) или \(x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(-\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{\pi}{2}\).