4. а) Решите уравнение sin² x − 3 sin x cos x + 2 cos² x = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; 2π].

а) Если \(\cos x=0\), левая часть равна \(\sin^2x=1\), поэтому таких корней нет. Делим уравнение на \(\cos^2x\): \( g^2x-3 g x+2=0\).

Разложим на множители: \(( g x-1)( g x-2)=0\). Значит, \( g x=1\) или \( g x=2\), откуда \(x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k\) или \(x=\arctan 2+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) На промежутке \([0;2\pi]\) получаем корни \(\dfrac{\pi}{4},\ \arctan 2,\ \dfrac{5\pi}{4},\ \pi+\arctan 2\).

Ответ: а) \(x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k\) или \(x=\arctan 2+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(\dfrac{\pi}{4},\ \arctan 2,\ \dfrac{5\pi}{4},\ \pi+\arctan 2\).