10. ABCD — ромб. BH перпендикулярен AD, угол HBD равен 25°. Найдите α (угол между BD и DA) и β (угол C).

В прямоугольном треугольнике BHD угол H равен 90°, а угол HBD — 25°. Поэтому α = ∠BDH = 180° − 90° − 25° = 65°. Диагональ BD делит угол B ромба пополам, следовательно, ∠B = 2 · (25° + ∠ABH) — однако по рисунку угол 25° расположен между BH и BD, а величина ∠ABH не задана непосредственно. Вместе с тем BH ⟂ AD и ромб даёт AB = AD; из прямоугольного треугольника ABH следует, что ∠ABH = 90° − ∠A. Так как BD делит угол B пополам и ∠B = 180° − ∠A, имеем ∠ABD = 90° − ∠A/2. Тогда ∠HBD = ∠ABD − ∠ABH = ∠A/2 = 25°, откуда ∠A = 50°, а β = ∠C = 50°.

Ответ: α = 65°, β = 50°.