12. ABCD — ромб. H лежит на AD, BH перпендикулярен AD, AH = HD. Найдите α (угол A) и β (угол между BH и BC).

Пусть AH = HD = x, тогда AD = 2x. В прямоугольном треугольнике ABH гипотенуза AB равна стороне ромба AD, то есть 2x. Поэтому cos α = AH/AB = x/(2x) = 1/2, откуда α = 60°. Тогда ∠B = 180° − 60° = 120°. В треугольнике ABH угол ABH равен 180° − 90° − 60° = 30°. Следовательно, β = ∠ABC − ∠ABH = 120° − 30° = 90°.

Ответ: α = 60°, β = 90°.