10. Дано: ∠AOB = ½(∠BOC + ∠COD + ∠DOA). Найти: ∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOA.

Обозначим ∠AOB = x. Сумма четырёх углов вокруг точки O равна 360°, поэтому ∠BOC + ∠COD + ∠DOA = 360° − x.

По условию x = ½(360° − x). Тогда 2x = 360° − x, откуда 3x = 360° и x = 120°.

∠AOB и ∠COD — вертикальные углы, значит ∠COD = 120°. Углы ∠BOC и ∠DOA также вертикальные, а каждый из них смежный с углом 120°, поэтому оба равны 60°.

Ответ: ∠AOB = 120°, ∠BOC = 60°, ∠COD = 120°, ∠DOA = 60°.