10. Докажите, что ΔABD ~ ABCD.

Решение:

Условие «Доказать: ΔABD ~ ABCD» некорректно, так как ABCD — это четырехугольник, а не треугольник. Вероятно, имеется в виду подобие треугольников, например, ΔABD ~ ΔACB или ΔABD ~ ΔDBC. По чертежу видно, что ABCD — вписанный четырёхугольник, и проведена касательная BC. Угол между касательной BC и хордой AB равен вписанному углу ∠ACB, опирающемуся на ту же дугу AB. То есть ∠ABC (угол между касательной и хордой) = ∠ACB (вписанный). В треугольниках ΔABC и ΔDBC: ∠ABC — общий. Угол между касательной BC и хордой BD равен вписанному углу ∠BCD. Если бы мы хотели доказать, что ΔABC ~ ΔBAD, то у нас есть общий угол ∠B. Если ∠BAC = ∠BCD, то треугольники подобны. Если ∠BCA = ∠BDA, то треугольники подобны. Так как BC — касательная, то ∠ABC (угол между касательной и хордой AB) = ∠ACB (вписанный угол, опирающийся на дугу AB). В треугольниках ΔABC и ΔCBD: ∠CBD — общий. ∠BCA = ∠BDA. Угол между касательной BC и хордой AB равен ∠ACB. Пусть это угол \(\alpha\). Тогда дуга AB = 2\(\alpha\). Вписанный угол ∠ADB опирается на дугу AB, значит ∠ADB = \(\alpha\). Если бы мы доказывали, что ΔABD ~ ΔACB, то нам нужно было бы найти равенство углов. Угол ∠BAD общий. Если ∠ABD = ∠ACB, то они подобны. Если ∠ADB = ∠ABC, то они подобны. Проверим теорему о касательной и хорде: угол между касательной BC и хордой AB равен вписанному углу, опирающемуся на дугу AB, то есть ∠ACB. Таким образом, ∠ABC (угол между касательной и хордой) = ∠ACB. В треугольниках ΔABC и ΔDBC: ∠CBD — общий. ∠BCA = ∠BDA. Таким образом, ΔABC ~ ΔDBC по двум углам. Если же нам нужно доказать, что ΔABD ~ ΔCBA, то ∠ABD = ∠CBA (общий). ∠ADB = ∠CAB (на одну дугу). Значит, ΔABD ~ ΔCBA.

Доказано (при условии, что доказывалось подобие ΔABD ~ ΔCBA).