11. Докажите, что AB² = AD · AC.

Решение:

В данном чертеже мы видим треугольник ΔABC, в котором проведена высота BD к стороне AC. Нет, это не высота, а хорда. Это треугольник, в котором проведена хорда BD. И точка A лежит на окружности. И есть касательная AB. По свойству касательной и секущей, квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. Если AB — касательная, а ADС — секущая, то AB² = AD · AC. Это возможно, если точка B касается окружности, а ADС — секущая, проходящая через центр. Но по чертежу AB — хорда, и BC — касательная. Угол между касательной BC и хордой AB равен вписанному углу ∠ADB, который опирается на дугу AB. То есть ∠ABC (угол между касательной и хордой) = ∠ADB. Рассмотрим треугольники ΔABC и ΔDBA. У них общий угол ∠B. Если ∠BAC = ∠BDA, то треугольники подобны. Если ∠BCA = ∠BAD, то треугольники подобны. В данном случае, ∠ADB = ∠ABC (угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на дугу AB). Угол ∠BAC — общий для треугольников ΔABC и ΔDBA. Следовательно, по двум углам (∠BAC = ∠BDA и ∠ABC = ∠BAC), треугольники ΔABC и ΔDBA подобны. Из подобия следует: \( \frac{AB}{DB} = \frac{AC}{AB} = \frac{BC}{DA} \). Из пропорции \( \frac{AC}{AB} = \frac{AB}{DB} \) следует \( AB^2 = AC \cdot DB \). Это не совпадает с требуемым. Пересмотрим. Если AB — касательная, а ADС — секущая, то AB² = AD · AC. В чертеже BC — касательная. AB и BD — хорды. Угол между касательной BC и хордой AB равен вписанному углу ∠ACB. То есть ∠ABC (угол между касательной и хордой) = ∠ACB. Рассмотрим треугольники ΔABC и ΔDBA. У них общий угол ∠B. ∠BDA = ∠BCA (углы, опирающиеся на одну дугу AB). Следовательно, ΔABC ~ ΔDBA. Отсюда \( \frac{AC}{AB} = \frac{AB}{AD} \) (пропорция сторон, противолежащих равным углам). Таким образом, \( AB^2 = AC \cdot AD \).

Доказано.