10. Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикуляр ей, и только один.

Через точку прямой можно провести единственную прямую, образующую с данной прямой угол 90°: существование следует из возможности отложить от данной прямой прямой угол, а единственность — из того, что в одной полуплоскости от луча можно отложить только один угол заданной величины.

Если бы через точку проходили две разные прямые, перпендикулярные данной, они образовали бы с одним и тем же лучом данной прямой два разных прямых угла в одной полуплоскости. Это невозможно. Значит, перпендикуляр только один.