10. Докажите, что отрезки, соединяющие середины сторон прямоугольника, образуют ромб.

Пусть E, F, G, H — середины сторон прямоугольника ABCD, взятые по порядку. По теореме о средней линии треугольника:

• в треугольнике ABC отрезок EF равен половине диагонали AC;
• в треугольнике BCD отрезок FG равен половине диагонали BD;
• аналогично GH = AC/2 и HE = BD/2.

Диагонали прямоугольника равны: AC = BD. Следовательно, EF = FG = GH = HE. Четырёхугольник EFGH имеет четыре равные стороны, значит, он является ромбом.

Что и требовалось доказать.