10. Докажите, что у равных треугольников BDE и BD₁E₁ биссектрисы, проведенные из вершин В и В, равны. (3 балла)

Решение:

Дано: \( \triangle BDE = \triangle BD_1E_1 \). \( BK \) — биссектриса \( \angle DBE \), \( BK ⊥ \angle DBE \) (то есть \( \angle DBK = \angle KBE \)). \( B_1K_1 \) — биссектриса \( \angle D_1B_1E_1 \), \( B_1K_1 ⊥ \angle D_1B_1E_1 \) (то есть \( \angle D_1B_1K_1 = \angle K_1B_1E_1 \)).

Доказать: \( BK = B_1K_1 \).

Доказательство:

Так как \( \triangle BDE = \triangle BD_1E_1 \) (по условию), то соответствующие стороны и углы равны.

1. Равенство сторон: \( BD = BD_1 \), \( BE = BE_1 \), \( DE = D_1E_1 \).
2. Равенство углов: \( \angle DBE = \angle D_1B_1E_1 \), \( \angle BED = \angle B_1E_1D_1 \), \( \angle EDB = \angle E_1D_1B_1 \).

Поскольку \( BK \) — биссектриса \( \angle DBE \), то \( \angle DBK = \frac{1}{2} \angle DBE \). Аналогично, \( B_1K_1 \) — биссектриса \( \angle D_1B_1E_1 \), то \( \angle D_1B_1K_1 = \frac{1}{2} \angle D_1B_1E_1 \).

Так как \( \angle DBE = \angle D_1B_1E_1 \), то и их половины равны:

\[ \angle DBK = \angle D_1B_1K_1 \]

Рассмотрим треугольники \( \triangle DBK \) и \( \triangle D_1B_1K_1 \).

У нас есть:

• \( BD = BD_1 \) (по доказанному в пункте 1)
• \( \angle DBK = \angle D_1B_1K_1 \) (по доказанному выше)
• \( \angle BDE = \angle B_1D_1E_1 \) (по доказанному в пункте 2)

Следовательно, \( \triangle DBK = \triangle D_1B_1K_1 \) по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон:

\[ BK = B_1K_1 \]

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.