4. Преобразуйте в многочлен стандартного вида: a) (7x + 3y)(3y - 7x); б) 3b(4 - 5b) - (b - 2)^2. (1 балл)

Решение:

а) \( (7x + 3y)(3y - 7x) \)

1. Заметим, что \( (3y - 7x) = -(7x - 3y) \).
2. Тогда выражение примет вид: \( (7x + 3y) \cdot -(7x - 3y) = -(7x + 3y)(7x - 3y) \).
3. Используем формулу разности квадратов \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \), где \( a = 7x \) и \( b = 3y \): \( -( (7x)^2 - (3y)^2 ) \).
4. Вычислим квадраты: \( -(49x^2 - 9y^2) \).
5. Раскроем скобки: \( -49x^2 + 9y^2 \).

б) \( 3b(4 - 5b) - (b - 2)^2 \)

1. Раскроем первую скобку: \( 3b \cdot 4 - 3b \cdot 5b = 12b - 15b^2 \).
2. Раскроем вторую скобку, используя формулу квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \), где \( a = b \) и \( b = 2 \): \( (b-2)^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 2 + 2^2 = b^2 - 4b + 4 \).
3. Теперь подставим это обратно в исходное выражение: \( (12b - 15b^2) - (b^2 - 4b + 4) \).
4. Раскроем вторую скобку, меняя знаки: \( 12b - 15b^2 - b^2 + 4b - 4 \).
5. Приведем подобные слагаемые: \( (-15b^2 - b^2) + (12b + 4b) - 4 = -16b^2 + 16b - 4 \).

Ответ: а) \( -49x^2 + 9y^2 \) б) \( -16b^2 + 16b - 4 \)