9. Решите уравнение: x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0. (3 балла)

Решение:

Это кубическое уравнение. Попробуем решить его методом группировки.

1. Сгруппируем первые два члена и последние два члена: \( (x^3 + 3x^2) + (-4x - 12) = 0 \).
2. Вынесем общий множитель из каждой группы: \( x^2(x + 3) - 4(x + 3) = 0 \).
3. Теперь мы видим общий множитель \( (x + 3) \), вынесем его: \( (x + 3)(x^2 - 4) = 0 \).
4. Заметим, что \( x^2 - 4 \) — это разность квадратов, которую можно разложить как \( (x - 2)(x + 2) \).
5. Тогда уравнение примет вид: \( (x + 3)(x - 2)(x + 2) = 0 \).
6. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:
• \( x + 3 = 0 \implies x = -3 \)
• \( x - 2 = 0 \implies x = 2 \)
• \( x + 2 = 0 \implies x = -2 \)

Ответ: x = -3, x = 2, x = -2