10. Докажите неравенство \((a^3-b^3)(a-b)>3ab(a-b)^2\).

Перенесём правую часть в левую и разложим разность кубов:

\((a^3-b^3)(a-b)-3ab(a-b)^2=(a-b)^2(a^2+ab+b^2-3ab)\).

Упростим выражение в скобках и используем тождество:

\((a-b)^2(a^2-2ab+b^2)=(a-b)^2(a-b)^2=(a-b)^4\ge0\).

Следовательно, для любых действительных \(a,b\) выполняется нестрогое неравенство \((a^3-b^3)(a-b)\ge3ab(a-b)^2\). Равенство наступает при \(a=b\); поэтому строгое неравенство, указанное в условии, при \(a=b\) неверно.

Ответ: утверждение со знаком > неверно для всех \(a,b\); верно нестрогое неравенство со знаком \(\ge\), равенство возможно при \(a=b\).