10. Докажите неравенство a² + b² ≥ (a + b)²/2.

Рассмотрим разность левой и правой частей:

\(a^2+b^2-\frac{(a+b)^2}{2}=\frac{2a^2+2b^2-(a^2+2ab+b^2)}{2}=\frac{(a-b)^2}{2}\).

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, \(\frac{(a-b)^2}{2}\ge0\). Следовательно, \(a^2+b^2\ge\frac{(a+b)^2}{2}\).

Равенство достигается при \(a=b\).