10. Докажите тождество: (sin β + sin α)(sin α - sin β) = (cos α + cos β)(cos β - cos α)

Решение:

Преобразуем левую часть (Л.Ч.):

Л.Ч. \( = (\sin \alpha + \sin \beta)(\sin \alpha - \sin \beta) \)

Это разность квадратов: \( \sin^2\alpha - \sin^2\beta \).

Преобразуем правую часть (П.Ч.):

П.Ч. \( = (\cos \alpha + \cos \beta)(\cos \beta - \cos \alpha) \)

Переставим множители во второй скобке: \( = (\cos \alpha + \cos \beta)(- (\cos \alpha - \cos \beta)) \)

\( = - (\cos^2\alpha - \cos^2\beta) \)

\( = - \cos^2\alpha + \cos^2\beta \).

Теперь используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), откуда \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).

Подставим в Л.Ч.:

Л.Ч. \( = (1 - \cos^2\alpha) - (1 - \cos^2\beta) = 1 - \cos^2\alpha - 1 + \cos^2\beta = \cos^2\beta - \cos^2\alpha \).

Сравниваем Л.Ч. и П.Ч.:

Л.Ч. \( = \cos^2\beta - \cos^2\alpha \).

П.Ч. \( = - \cos^2\alpha + \cos^2\beta = \cos^2\beta - \cos^2\alpha \).

Л.Ч. = П.Ч. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.