6. Упростить выражения:

Решение:

I) \( 1 - \cos^2\alpha \)

По основному тригонометрическому тождеству \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \), поэтому \( 1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha \).

II) \( \sin^2\alpha - 1 \)

\( \sin^2\alpha - 1 = - (1 - \sin^2\alpha) = -\cos^2\alpha \).

III) \( \cos^2\alpha + (1 - \sin^2\alpha) \)

\( \cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 2\cos^2\alpha \).

IV) \( \sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha - 1 \)

\( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + \cos^2\alpha - 1 = 1 + \cos^2\alpha - 1 = \cos^2\alpha \).

V) \( \cos^2\alpha - (1 - \sin^2\alpha) \)

\( \cos^2\alpha - \cos^2\alpha = 0 \).

VI) \( \sin^2\alpha - \cos^2\alpha \)

Это \( -(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = -\cos(2\alpha) \).

VII) \( \cos^2\alpha - 1 \)

\( \cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha \).

VIII) \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha \)

По основному тригонометрическому тождеству это равно 1.

IX) \( \sin^2\alpha - 1 + \cos^2\alpha \)

\( (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - 1 = 1 - 1 = 0 \).

X) \( (1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha) \)

Это разность квадратов: \( 1^2 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha \).

XI) \( \cos\alpha \sin\alpha \text{tg}\alpha \)

\( \cos\alpha \sin\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sin^2\alpha \).

XII) \( \sin\alpha \cos\alpha \text{ctg}\alpha \)

\( \sin\alpha \cos\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cos^2\alpha \).

XIII) \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + \text{tg}^2\alpha \)

\( 1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} \).

XIV) \( \text{tg}^2\alpha - \text{ctg}^2\alpha \)

Оставить в таком виде.

Ответ: I) \( \sin^2\alpha \); II) \( -\cos^2\alpha \); III) \( 2\cos^2\alpha \); IV) \( \cos^2\alpha \); V) \( 0 \); VI) \( -\cos(2\alpha) \); VII) \( -\sin^2\alpha \); VIII) \( 1 \); IX) \( 0 \); X) \( \cos^2\alpha \); XI) \( \sin^2\alpha \); XII) \( \cos^2\alpha \); XIII) \( \frac{1}{\cos^2\alpha} \); XIV) \( \text{tg}^2\alpha - \text{ctg}^2\alpha \).