7. Докажите, что при всех допустимых значениях β значение выражения не зависит от β

Решение:

I) \( \frac{1+2\cos\beta\sin\beta}{(\sin\beta+\cos\beta)^2} \)

Числитель: \( 1+2\cos\beta\sin\beta \). Знаменатель: \( (\sin\beta+\cos\beta)^2 = \sin^2\beta + 2\sin\beta\cos\beta + \cos^2\beta = 1 + 2\sin\beta\cos\beta \).

Дробь равна \( \frac{1+2\cos\beta\sin\beta}{1+2\sin\beta\cos\beta} = 1 \).

II) \( \frac{\sin^2\beta}{(\sin\beta+\cos\beta)^2} \)

Знаменатель: \( 1 + 2\sin\beta\cos\beta \). Выражение не является константой.

III) \( \frac{1}{1+\text{ctg}^2\beta} + \frac{1}{3+\text{ctg}^2\beta} \)

\( \frac{1}{1+\text{ctg}^2\beta} = \frac{1}{1/\sin^2\beta} = \sin^2\beta \).

\( \frac{1}{3+\text{ctg}^2\beta} \) — не упрощается до константы.

IV) \( \frac{1-\sin\beta}{\cos\beta} \cdot \frac{1}{\cos\beta} \)

\( \frac{1-\sin\beta}{\cos^2\beta} = \frac{1-\sin\beta}{1-\sin^2\beta} = \frac{1-\sin\beta}{(1-\sin\beta)(1+\sin\beta)} = \frac{1}{1+\sin\beta} \).

Выражение зависит от \( \beta \).

V) \( \frac{2-\sin^2\beta - \cos^2\beta}{3\sin^2\beta+3\cos^2\beta} \)

Числитель: \( 2 - (\sin^2\beta + \cos^2\beta) = 2 - 1 = 1 \).

Знаменатель: \( 3(\sin^2\beta + \cos^2\beta) = 3 \cdot 1 = 3 \).

Дробь равна \( 1/3 \).

VI) \( \frac{\sin^2\beta - \cos^2\beta}{3\sin^2\beta+3\cos^2\beta} \)

Знаменатель равен 3. Числитель \( -(\cos^2\beta - \sin^2\beta) = -\cos(2\beta) \).

Выражение \( -\cos(2\beta)/3 \) зависит от \( \beta \).

VII) \( \sin^2\beta + \cos^2\beta + 2\sin^2\beta\cos^2\beta \)

\( 1 + 2\sin^2\beta\cos^2\beta \) — зависит от \( \beta \).

VIII) \( \frac{\sin^4\beta - \cos^4\beta}{3\sin^2\beta + 3\cos^2\beta} \)

Знаменатель равен 3. Числитель: \( (\sin^2\beta - \cos^2\beta)(\sin^2\beta + \cos^2\beta) = \sin^2\beta - \cos^2\beta = -\cos(2\beta) \).

Выражение \( -\cos(2\beta)/3 \) зависит от \( \beta \).

Ответ: Тождественно равны 1 выражения I) и V).