10. Два человека отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 6,3 км от дома. Один идет со скоростью 2,5 км/ч, а другой со скоростью 3,5 км/ч. Дойдя до опушки, второй возвращается обратно. На каком расстоянии от дома произойдет их встреча? Ответ дайте в километрах.

Решение:

Расстояние до опушки: S = 6,3 км.

Скорость первого пешехода: v1 = 2,5 км/ч.

Скорость второго пешехода: v2 = 3,5 км/ч.

1. Найдем время, за которое второй пешеход дойдет до опушки:
   
   \[ t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{6.3 \text{ км}}{3.5 \text{ км/ч}} = 1.8 \text{ часа} \]
2. Найдем расстояние, которое пройдет первый пешеход за это время:
   
   \[ S_1 = v_1 \times t_2 = 2.5 \text{ км/ч} \times 1.8 \text{ часа} = 4.5 \text{ км} \]
3. Анализ ситуации:
   
   Когда второй пешеход достигнет опушки (через 1.8 часа), первый пешеход будет находиться на расстоянии 4.5 км от дома. Второй пешеход начнет возвращаться.
4. Найдем время, через которое они встретятся после начала движения второго пешехода (т.е. после того, как он развернется):
   
   В момент встречи они будут двигаться навстречу друг другу. Расстояние между ними в этот момент составит:
   \[ 4.5 \text{ км (первый)} + 6.3 \text{ км (второй, идущий обратно)} = 10.8 \text{ км} \]
   Ой, это не так. Второй пешеход уже прошел 6.3 км и идет обратно. Первый идет вперед. Они встретятся где-то на пути от дома к опушке, когда первый пройдет часть пути, а второй пройдет часть пути обратно.
   
   
   Давайте переформулируем:
   
   Пусть t - время до встречи от начала движения.
   
   Расстояние первого от дома:
   \[ S_1(t) = 2.5t \]
   
   Расстояние второго от дома:
   
   Если
   \[ t \le 1.8 \text{ часа} \], то
   \[ S_2(t) = 3.5t \]
   
   Если
   \[ t > 1.8 \text{ часа} \], то второй пешеход прошел 6.3 км и возвращается. Время возвращения:
   \[ t_{возвр} = t - 1.8 \]
   
   Расстояние, которое он прошел обратно:
   \[ S_{возвр} = 3.5 \times (t - 1.8) \]
   
   Его расстояние от дома:
   \[ S_2(t) = 6.3 - S_{возвр} = 6.3 - 3.5(t - 1.8) \]
5. Ищем момент встречи, когда S1(t) = S2(t).
   
   
   Встреча произойдет, когда первый пешеход еще идет к опушке, а второй уже возвращается. То есть, t > 1.8 часа.
   
   
   Приравниваем расстояния:
   
   \[ 2.5t = 6.3 - 3.5(t - 1.8) \]
   \[ 2.5t = 6.3 - 3.5t + 3.5 \times 1.8 \]
   \[ 2.5t = 6.3 - 3.5t + 6.3 \]
   \[ 2.5t = 12.6 - 3.5t \]
   \[ 2.5t + 3.5t = 12.6 \]
   \[ 6t = 12.6 \]
   \[ t = \frac{12.6}{6} = 2.1 \text{ часа} \]
6. Найдем расстояние от дома, где произошла встреча:
   
   Используем расстояние первого пешехода, так как он шел без остановки:
   
   \[ S_1(2.1) = 2.5 \text{ км/ч} \times 2.1 \text{ часа} = 5.25 \text{ км} \]

Ответ: 5.25 км