6. Найдите корень уравнения \(\log_2 (9-4x) - \log_2 \frac{1}{2} = \log_2 15\)

Решение:

1. Используем свойства логарифмов: \[ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \]
   \[ \log_2 \frac{9-4x}{\frac{1}{2}} = \log_2 15 \] \[ \log_2 (2(9-4x)) = \log_2 15 \] \[ \log_2 (18-8x) = \log_2 15 \]
2. Приравниваем аргументы логарифмов (так как основания равны):
   \[ 18 - 8x = 15 \]
3. Решаем полученное линейное уравнение:
   \[ -8x = 15 - 18 \] \[ -8x = -3 \] \[ x = \frac{-3}{-8} \] \[ x = \frac{3}{8} \]
4. Проверка области определения:
   Аргумент логарифма должен быть больше нуля: \[ 9 - 4x > 0 \] \[ 9 > 4x \] \[ x < \frac{9}{4} \] Полученный корень \[ x = \frac{3}{8} \] удовлетворяет условию \[ x < \frac{9}{4} \] ( \[ \frac{3}{8} = 0.375 \], \[ \frac{9}{4} = 2.25 \]).

Ответ: \[ \frac{3}{8} \]