10. \(\frac{1+\operatorname{tg}^2(-\frac{\pi}{3})}{1+\operatorname{ctg}^2(-\frac{\pi}{3})}\)

Так как \(\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{3})=-\sqrt{3}\), её квадрат равен 3. Кроме того, \(\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{3})=-\frac{1}{\sqrt{3}}\), её квадрат равен \(\frac{1}{3}\).

Следовательно, \(\frac{1+3}{1+\frac{1}{3}}=\frac{4}{\frac{4}{3}}=3\).

Ответ: 3.