8. Найти координаты и длину векторов: AB и BC (векторное произведение), CD и DA (скалярное произведение). A(5; 0; 3), B(0; 5; 6), C(2; 3; 1), D(7; 8; 4).

Координаты вектора находим вычитанием координат его начала из координат конца.

1. \(\overrightarrow{AB}=B-A=(-5;5;3)\), поэтому \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-5)^2+5^2+3^2}=\sqrt{59}\).
2. \(\overrightarrow{BC}=C-B=(2;-2;-5)\), поэтому \(|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+(-5)^2}=\sqrt{33}\).
3. Векторное произведение: \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}=(-19;-19;0)\).
4. \(\overrightarrow{CD}=D-C=(5;5;3)\), поэтому \(|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{59}\).
5. \(\overrightarrow{DA}=A-D=(-2;-8;-1)\), поэтому \(|\overrightarrow{DA}|=\sqrt{69}\).
6. Скалярное произведение: \(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{DA}=5\cdot(-2)+5\cdot(-8)+3\cdot(-1)=-53\).

Ответ: \(\overrightarrow{AB}=(-5;5;3)\), \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{59}\); \(\overrightarrow{BC}=(2;-2;-5)\), \(|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{33}\); \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}=(-19;-19;0)\); \(\overrightarrow{CD}=(5;5;3)\), \(|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{59}\); \(\overrightarrow{DA}=(-2;-8;-1)\), \(|\overrightarrow{DA}|=\sqrt{69}\); \(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{DA}=-53\).