10. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 255 км, вышел катер. Дойдя до пункта В, он вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение и ответ.

Решение:

Обозначим:

• $$S$$ — расстояние между пунктами А и В, $$S = 255$$ км.
• $$v$$ — собственная скорость катера (км/ч), то, что нужно найти.
• $$u$$ — скорость течения реки, $$u = 1$$ км/ч.
• $$t_1$$ — время движения катера из А в В.
• $$t_2$$ — время движения катера из В в А.

Скорость катера по течению (из А в В): $$v_1 = v + u = v + 1$$ км/ч.

Скорость катера против течения (из В в А): $$v_2 = v - u = v - 1$$ км/ч.

Время движения:

• $$t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{255}{v+1}$$
• $$t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{255}{v-1}$$

По условию задачи, на обратный путь было затрачено на 2 часа меньше, то есть $$t_2 = t_1 - 2$$.

Подставим выражения для времени:

\[ \frac{255}{v-1} = \frac{255}{v+1} - 2 \]

Решим это уравнение относительно $$v$$.

1. Приведем уравнение к общему знаменателю:

   \[ \frac{255}{v-1} - \frac{255}{v+1} = -2 \]
   \[ \frac{255(v+1) - 255(v-1)}{(v-1)(v+1)} = -2 \]
   \[ \frac{255v + 255 - 255v + 255}{v^2 - 1} = -2 \]
   \[ \frac{510}{v^2 - 1} = -2 \]

2. Умножим обе части на $$v^2 - 1$$:

   \[ 510 = -2(v^2 - 1) \]
   \[ 510 = -2v^2 + 2 \]

3. Перенесем все члены в одну сторону:

   \[ 2v^2 = 2 - 510 \]
   \[ 2v^2 = -508 \]
   \[ v^2 = -254 \]

Мы получили уравнение $$v^2 = -254$$. Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, данное уравнение не имеет действительных решений. Это означает, что условие задачи (обратный путь на 2 часа быстрее) при данных параметрах (расстояние 255 км, скорость течения 1 км/ч) является невыполнимым.

Возможная ошибка в условии задачи. Если бы, например, на обратный путь было затрачено на 2 часа БОЛЬШЕ, или расстояние было бы другим, или скорость течения иной, то решение было бы возможно.

Перепроверим расчеты.

Давайте предположим, что катер шел на 2 часа ДОЛЬШЕ по течению (то есть $$t_1 = t_2 - 2$$, что эквивалентно $$t_2 = t_1 + 2$$).

Альтернативный расчет (если $$t_1 = t_2 + 2$$):

\[ \frac{255}{v+1} = \frac{255}{v-1} + 2 \]
\[ \frac{255}{v+1} - \frac{255}{v-1} = 2 \]
\[ \frac{255(v-1) - 255(v+1)}{(v+1)(v-1)} = 2 \]
\[ \frac{255v - 255 - 255v - 255}{v^2 - 1} = 2 \]
\[ \frac{-510}{v^2 - 1} = 2 \]
\[ -510 = 2(v^2 - 1) \]
\[ -510 = 2v^2 - 2 \]
\[ 2v^2 = -510 + 2 \]
\[ 2v^2 = -508 \]
\[ v^2 = -254 \]

Все равно получается отрицательное значение для $$v^2$$.

Проверим условие: «затратив на обратный путь на 2 часа меньше»

Это означает $$t_{обратный} = t_{туда} - 2$$.

Скорость против течения ($$v-1$$) меньше скорости по течению ($$v+1$$). Следовательно, время против течения ($$t_2$$) должно быть БОЛЬШЕ времени по течению ($$t_1$$).

Значит, условие "на 2 часа меньше" для обратного пути (против течения) при условии $$v>u$$ невозможно.

Исходя из условия задачи, в ней содержится противоречие.

Если бы условие было: «затратив на путь по течению на 2 часа меньше, чем на обратный путь» (то есть $$t_1 = t_2 - 2$$):

Тогда $$t_2 = t_1 + 2$$. Это мы уже рассмотрели выше и получили $$v^2 = -254$$, что невозможно.

Если бы условие было: «затратив на путь по течению на 2 часа больше, чем на обратный путь» (то есть $$t_1 = t_2 + 2$$):

Тогда $$t_2 = t_1 - 2$$. Это мы тоже рассмотрели вначале и получили $$v^2 = -254$$, что невозможно.

Переформулируем задачу, предполагая, что «на обратный путь» означает время, проведенное против течения, и оно меньше времени по течению. Это возможно только если скорость против течения больше скорости по течению, что нереалистично.

Единственный логичный вариант, при котором задача имеет решение, это если катер потратил на путь ПО ТЕЧЕНИЮ на 2 часа меньше, чем ПРОТИВ ТЕЧЕНИЯ. То есть $$t_{по\text{ течению}} = t_{против\text{ течения}} - 2$$, или $$t_{против\text{ течения}} = t_{по\text{ течению}} + 2$$.

Продолжим с этим предположением:

\[ \frac{255}{v-1} = \frac{255}{v+1} + 2 \]

Мы уже решали это уравнение и получили $$v^2 = -254$$.

Попробуем предположить, что расстояние было другим.

Вернемся к самому первому варианту, где $$t_2 = t_1 - 2$$.

\[ \frac{255}{v-1} = \frac{255}{v+1} - 2 \]

Мы получили $$v^2 = -254$$.

Возможно, в условии задачи опечатка и скорость течения равна, например, 10 км/ч, или расстояние другое.

Давайте предположим, что $$t_1$$ (время по течению) = $$t_2$$ (время против течения) - 2. Это означает, что путь по течению был быстрее.

\[ \frac{255}{v+1} = \frac{255}{v-1} - 2 \]

Это приведет к $$v^2 = -254$$.

Единственный сценарий, когда обратный путь (против течения) может быть быстрее, это если катер двигался по течению, а затем против течения, и время возвращения заняло меньше времени. Это противоречит физике, если $$v > u$$.

Давайте предположим, что ошибка в условии и имелось в виду, что на обратный путь затрачено НА 2 часа БОЛЬШЕ.

\[ t_2 = t_1 + 2 \]

\[ \frac{255}{v-1} = \frac{255}{v+1} + 2 \]

Это уравнение мы уже решали и получили $$v^2 = -254$$.

ПРОВЕРКА ИСХОДНОГО УСЛОВИЯ:

Пусть $$v$$ = собственная скорость катера. $$v > 1$$ (чтобы катер мог плыть против течения).

Скорость по течению: $$v+1$$. Время по течению: $$t_1 = 255/(v+1)$$.

Скорость против течения: $$v-1$$. Время против течения: $$t_2 = 255/(v-1)$$.

Условие: $$t_2 = t_1 - 2$$.

\[ \frac{255}{v-1} = \frac{255}{v+1} - 2 \]

\[ \frac{255}{v-1} - \frac{255}{v+1} = -2 \]

\[ \frac{255(v+1) - 255(v-1)}{(v-1)(v+1)} = -2 \]

\[ \frac{255v + 255 - 255v + 255}{v^2 - 1} = -2 \]

\[ \frac{510}{v^2 - 1} = -2 \]

\[ 510 = -2(v^2 - 1) \]

\[ 510 = -2v^2 + 2 \]

\[ 2v^2 = 2 - 510 \]

\[ 2v^2 = -508 \]

\[ v^2 = -254 \]

Вывод: задача в том виде, как она сформулирована, не имеет решения, так как приводит к противоречию. Скорость против течения всегда меньше скорости по течению, а значит, время против течения всегда больше времени по течению. Условие "на обратный путь на 2 часа меньше" физически невозможно при $$v>u$$.

Предположим, что в условии опечатка и имелось в виду: «затратив на обратный путь на 2 часа БОЛЬШЕ»

Тогда $$t_2 = t_1 + 2$$:

\[ \frac{255}{v-1} = \frac{255}{v+1} + 2 \]

Мы уже решали это выше и получили $$v^2 = -254$$, что также невозможно.

Единственная корректная интерпретация, которая может дать решение: предположим, что катер двигался из А в В (по течению), а затем вернулся (против течения), и путь ПО ТЕЧЕНИЮ занял на 2 часа меньше, чем путь ПРОТИВ ТЕЧЕНИЯ.

\[ t_{по\text{ течению}} = t_{против\text{ течения}} - 2 \]

\[ \frac{255}{v+1} = \frac{255}{v-1} - 2 \]

Теперь решим это уравнение:

1. Приведем к общему знаменателю:

   \[ \frac{255}{v+1} - \frac{255}{v-1} = -2 \]

2. Выполним вычитание дробей:

   \[ \frac{255(v-1) - 255(v+1)}{(v+1)(v-1)} = -2 \]
   \[ \frac{255v - 255 - 255v - 255}{v^2 - 1} = -2 \]
   \[ \frac{-510}{v^2 - 1} = -2 \]

3. Умножим обе части на $$v^2 - 1$$:

   \[ -510 = -2(v^2 - 1) \]
   \[ -510 = -2v^2 + 2 \]

4. Перенесем все члены в одну сторону:

   \[ 2v^2 = 2 + 510 \]
   \[ 2v^2 = 512 \]
   \[ v^2 = \frac{512}{2} = 256 \]

5. Найдем $$v$$:

   \[ v = \sqrt{256} = 16 \] (так как скорость не может быть отрицательной, берем положительный корень).

6. Проверим условие $$v > u$$: $$16 > 1$$, что верно.

Найдем время:

Время по течению: $$t_1 = \frac{255}{16+1} = \frac{255}{17} = 15$$ часов.

Время против течения: $$t_2 = \frac{255}{16-1} = \frac{255}{15} = 17$$ часов.

Разница во времени: $$t_2 - t_1 = 17 - 15 = 2$$ часа.

Это соответствует условию, что путь по течению на 2 часа меньше, чем против течения.

Ответ: 16 км/ч