10. На основании BC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки M и N так, что BM = CN. Докажите, что треугольник AMN равнобедренный.

Так как \(ABC\) — равнобедренный с основанием \(BC\), то \(AB=AC\).

Точки \(M\) и \(N\) лежат на основании, причём \(BM=CN\). Поскольку \(BC=BM+MN+CN\), из равенства \(BM=CN\) следует, что точки \(M\) и \(N\) симметричны относительно серединного перпендикуляра к \(BC\).

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) этот серединный перпендикуляр к основанию является осью симметрии. Поэтому при симметрии относительно этой оси точка \(A\) переходит в себя, а точки \(M\) и \(N\) переходят друг в друга. Следовательно, соответствующие отрезки равны:

\(AM=AN\).

Что и требовалось доказать.