10. На рисунке радиус окружности равен 20, OM = 30. Прямая BM касается окружности в точке B, а точки O, A, M лежат на одной прямой; A — точка пересечения прямой OM с окружностью. Найти AM и BM.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому \(OB\perp BM\). В прямоугольном треугольнике \(OBM\): \(OB=20\), \(OM=30\).

По теореме Пифагора:

\(BM=\sqrt{OM^2-OB^2}=\sqrt{30^2-20^2}=\sqrt{500}=10\sqrt5.\)

Так как \(OA=20\) и A лежит между O и M, \(AM=OM-OA=30-20=10.\)

Ответ: \(AM=10,\ BM=10\sqrt5.\)