9. На рисунке из точки K к окружности проведены касательные KM и KN. KM = 15. Найти MN.

Из одной точки к окружности проведены две касательные, поэтому их отрезки равны: \(KM=KN=15\).

Треугольник \(KMN\) равнобедренный. Угол между касательными равен \(30^\circ\), поэтому высота, проведённая из K к MN, делит этот угол пополам и основание MN пополам.

В одном из получившихся прямоугольных треугольников гипотенуза равна 15, а угол при K — \(15^\circ\). Следовательно, половина основания равна \(15\sin 15^\circ\), поэтому

\(MN=30\sin 15^\circ=\dfrac{15}{2}(\sqrt6-\sqrt2)\approx7.76.\)

Ответ: \(MN=\dfrac{15}{2}(\sqrt6-\sqrt2)\approx7.76.\)