10. Найдите площадь закрашенного треугольника. Высота из верхней вершины к основанию равна 4, угол при правой вершине равен \(60^\circ\), радиус описанной окружности равен \(\sqrt{48}\).

Радиус окружности \(R=\sqrt{48}=4\sqrt3\). Сторона, противоположная углу \(60^\circ\), равна \(2R\sin60^\circ=12\).

Эта сторона образует с основанием прямоугольный треугольник с высотой 4, поэтому горизонтальная проекция равна \(\sqrt{12^2-4^2}=8\sqrt2\). Угол у правой вершины даёт горизонтальный отрезок от проекции верхней вершины до правой вершины основания: \(4/\tan60^\circ=4\sqrt3/3\).

Основание закрашенного треугольника равно \(8\sqrt2+\frac{4\sqrt3}{3}\). Тогда \(S=\frac12\cdot4\left(8\sqrt2+\frac{4\sqrt3}{3}\right)=16\sqrt2+\frac{8\sqrt3}{3}\).

Ответ: \(16\sqrt2+\frac{8\sqrt3}{3}\).